Unión
Dados dos o más conjuntos, se define la unión de conjuntos, como el
conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La
unión de A y B es
{a, b, c, d, e, f, h, j}
La unión tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa. A unión B = B unión A
Asociativa. (A unión B) unión C = A unión (B unión C).
Distributiva: A unión (B intersección C) = (A unión B) intersección (A
unión C)
Absorción: A unión (A intersección B) = A
Idempotencia: A unión A = A
Elemento neutro: A unión conjunto vacío = A
Dominación: U unión A = U
Inversa: A unión A' = U
Inversa de Morgan: (A unión B) ' = A ' intersección B '
Intersección
Dados dos o más conjuntos, se define la intersección de conjuntos, como el
conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La
intersección de A y B es {a}
La intersección tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa. A intersección B = B intersección A,
Asociativa. (A intersección B) intersección C = A intersección (B
intersección C).
Distributiva: A intersección (B unión C) = (A intersección B) unión (A
intersección C)
Absorción: A intersección (A unión B) = A
Idempotencia: A intersección A = A
Elemento neutro: A intersección conjunto vacío = A
Dominación: conjunto vacío intersección A = U
Inversa: A intersección A' = U
Inversa de Morgan: (A intersección B) ' = A ' unión B '
Diferencia
Dados dos conjuntos A y B, su diferencia, A - B, es los elementos de A que no pertenecen a B. Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La diferencia A - B es {b, c, d, e, f}. La diferencia B - A es {h, j}
Diferencia simétrica
Dados dos conjuntos A y B su diferencia simétrica es la unión de la diferencia A - B y B - A. En el ejemplo anterior la diferencia simétrica es {b, c, d, e, f, h, j}
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesianos de estos dos conjuntos es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B. Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)} El cardinal (número de elementos) del producto cartesiano es el producto de los cardinales de los dos conjuntos, |A x B| = |A| x |B|
CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD
Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no
pueden ocurrir simultaneamente
.
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del
otro.
EJEMPLO: Se lanza un dado.
|
a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos
muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.
c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A =
{resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}
d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes
eventos? A = {resultado menor o igual a
4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5}
sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente
excluyentes.
e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.
f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento
TECNICAS DE CONTEO
Principio multiplicativo
Si se desea realizar
una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad
a realizar puede ser llevado a cabo
de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras
o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta
actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
El principio multiplicativo
implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto,
uno tras otro.
Ejemplos:
1) Una
persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir
los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de
cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo,
el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados
los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona
de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2=
maneras de construir paredes = 3
N3=
maneras de hacer techos = 2
N4=
maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x
2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
El principio
multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se
tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede
llevar a cabo una actividad cualquiera.
EJERCICIOS RESUELTOS
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos:
1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?
Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
PERMUTACIONES.
Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
COMBINACIÓN Y PERMUTACION.
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación.
EJERCICIOS RESUELTOS
COMBINACIONES.
Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es
un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan
los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y
el contenido de los mismos.
La fórmula para determinar el número de combinaciones
es:
nCr = Combinaciones de r
objetos tomados de entre n objetos
Donde se observa que,
La expresión anterior nos explica como las
combinaciones de r objetos
tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las
permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se
debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos,
entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!,
les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de
otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las
combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las
permutaciones requeridas.
nPr
= nCr r!
Y si deseamos r = n
entonces;
nCn
= n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1
¿Qué nos indica lo anterior?
Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.
EJERCICIOS RESUELTOS
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