Distribución binomial

Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.

2.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

2.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,

q = 1 − p

3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

4.La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.

La distribución bimomial se expresa por B(n, p)

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio

Ejemplo

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?

n = 4

p = 0.8

q = 0.2

B(4, 0.8)

2.¿Y al menos 2?

Parámetros de la distribución binomial

Media

Varianza

Desviación típica

Ejemplo

La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

 

Distribución de probabilidad con variables aleatorias continúas

Dada una variable aleatoria , su función de distribución, , es

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice y se escribe, simplemente, . Donde en la fórmula anterior:

, es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.

es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.

es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.

es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definda sobre el espacio muestral a los números reales.

Propiedades

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:

• Es una función continua por la derecha.
• Es una función monótona no decreciente.

Además, cumple

y

Para dos números reales cualesquiera y tal que , los sucesos y son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso , por lo que tenemos entonces que:

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución para todos los valores de la variable aleatoria conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.
Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Distribuciones de variable discreta

Gráfica de distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor .